Circunferência
4 tipos de questão. Uma receita pra cada, e a lista inteira resolvida. Toca na questão pra ver a resposta.
1. Equação reduzida
(x − a)² + (y − b)² = r²
- Centro C(a, b): o sinal inverte no parêntese. a = −3 vira (x + 3)².
- Raio vai ao quadrado: r = 6 vira 36.
Exemplo: C(3, 4), r = 4
(x − 3)² + (y − 4)² = 16
Exemplo: C(3, 6), r = 3
(x − 3)² + (y − 6)² = 9
2. Equação geral
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
- D = −2·a
- E = −2·b
- F = a² + b² − r²
- Escreve: x² + y², depois D com x, E com y, F sozinho, = 0.
Exemplo: C(2, 5), r = 10
D = −4 · E = −10 · F = 4 + 25 − 100 = −71
Reduzida: (x − 2)² + (y − 5)² = 100
x² + y² − 4x − 10y − 71 = 0
Reduzida: (x − 2)² + (y − 5)² = 100
x² + y² − 4x − 10y − 71 = 0
1. C(2, 3), r = 5
Reduzida: (x − 2)² + (y − 3)² = 25
D = −4 · E = −6 · F = 4 + 9 − 25 = −12
x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0
D = −4 · E = −6 · F = 4 + 9 − 25 = −12
x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0
2. C(−3, 4), r = 6
Reduzida: (x + 3)² + (y − 4)² = 36
D = −2·(−3) = 6 · E = −8 · F = 9 + 16 − 36 = −11
x² + y² + 6x − 8y − 11 = 0
D = −2·(−3) = 6 · E = −8 · F = 9 + 16 − 36 = −11
x² + y² + 6x − 8y − 11 = 0
Se pedirem o jeito aberto: (x − a)² = x² − 2ax + a². Abre os dois, junta, passa o r² pro outro lado. Dá o mesmo.
3. Da geral: centro e raio
- a = metade do número do x, sinal trocado (−D ÷ 2)
- b = metade do número do y, sinal trocado (−E ÷ 2)
- r² = a² + b² − F, depois tira a raiz
Ax² + y² − 4x − 6y − 12 = 0
a = 2 · b = 3 → C(2, 3)
r² = 4 + 9 − (−12) = 25 → r = 5
(x − 2)² + (y − 3)² = 25
r² = 4 + 9 − (−12) = 25 → r = 5
(x − 2)² + (y − 3)² = 25
Bx² + y² + 8x − 10y + 25 = 0
a = −4 · b = 5 → C(−4, 5)
r² = 16 + 25 − 25 = 16 → r = 4
(x + 4)² + (y − 5)² = 16
r² = 16 + 25 − 25 = 16 → r = 4
(x + 4)² + (y − 5)² = 16
Cx² + y² − 2x + 12y + 21 = 0
a = 1 · b = −6 → C(1, −6)
r² = 1 + 36 − 21 = 16 → r = 4
(x − 1)² + (y + 6)² = 16
r² = 1 + 36 − 21 = 16 → r = 4
(x − 1)² + (y + 6)² = 16
4. Diâmetro AB
- Centro = média: ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)
- Raio = distância do centro até A
- Monta a reduzida e a geral como acima
3. A(2, 4) e B(8, 12)
Centro: ((2+8)÷2, (4+12)÷2) = C(5, 8)
Raio: √(3² + 4²) = √25 = 5
Reduzida: (x − 5)² + (y − 8)² = 25
D = −10 · E = −16 · F = 25 + 64 − 25 = 64
Geral: x² + y² − 10x − 16y + 64 = 0
Raio: √(3² + 4²) = √25 = 5
Reduzida: (x − 5)² + (y − 8)² = 25
D = −10 · E = −16 · F = 25 + 64 − 25 = 64
Geral: x² + y² − 10x − 16y + 64 = 0
Reta (as 2 da lista)
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) · n = y − m·x
geral: a = y₁ − y₂ · b = x₂ − x₁ · c = x₁·y₂ − x₂·y₁
distância = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
geral: a = y₁ − y₂ · b = x₂ − x₁ · c = x₁·y₂ − x₂·y₁
distância = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
m = 4, passa por P(0, −6)
n = −6 − 4·0 = −6
y = 4x − 6
y = 4x − 6
A(2, −1) e B(5, 8)
a = −9 · b = 3 · c = 16 + 5 = 21
Geral: −9x + 3y + 21 = 0
3y = 9x − 21 → y = 3x − 7 → m = 3
AB = √(9 + 81) = √90 = 3√10 ≈ 9,49
Geral: −9x + 3y + 21 = 0
3y = 9x − 21 → y = 3x − 7 → m = 3
AB = √(9 + 81) = √90 = 3√10 ≈ 9,49
Feito por Luiz